【図解】必要条件と十分条件

2020年3月16日2024年9月23日

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こんにちは、トイトブルクです！

皆さんは数学Iで登場する必要条件と十分条件について、整理ができていますか？

本記事では、図解すると必要条件・十分条件の関係が直感的に捉えられるというお話をします。

必要条件・十分条件とは？

必要条件・十分条件という言葉になじみのない方のために、必要条件と十分条件の定義を述べておきます。

必要条件・十分条件の定義

$$ P \Rightarrow Q のとき $$

PはQの十分条件である
QはPの必要条件である

言葉だけだと、矢印の向きと必要条件・十分条件の関係が直感的にわかりません。丸暗記しようとすると混乱しがちです。

図解して必要条件・十分条件を整理しよう

「必要条件・十分条件」が抽象的な言葉だからわかりにくいのです。

具体的な図を描いて理解しましょう。

次の図をご覧ください。

十分条件

上の図で、PはQの中に完全に入っていますが、QはPの中に完全に入っているわけではありません。

点$a$と点$b$を見ていただければよりわかるかと思います。点$a$はPにもQにも入っていますが、点$b$はQにしか入っていません。

Pの内側の点は自動的にQの内側に入ります。

言い換えると「PならばQの条件を十分に満たしている」ことになります。これが十分条件です。

必要条件

次にQの内側の点はPの内側に入るとは限りません。しかしPの内側に入るためには最低でもQの内側に入る必要があります。

言い換えると「Qを満たすことはPを満たすのに必要な条件である」ことになります。これが必要条件です。

上の図で$ P \Rightarrow Q $ の矢印の根元は内側、先端は外側と考えましょう。

必要条件・十分条件の問題を図解で解く

では実際の問題をどのように図解で解くか、やってみましょう。

練習問題

以下の空欄に当てはまる言葉を選択肢a, b, c, dから選べ。
ただし$ x, y$は実数とする。

(1) $ x = 2 $ は $ x^2 = 4 $の(　　)。
(2) $ x^2 = 4 $ は$ x = 2 $の(　　)。
(3) ひし形であることは長方形であることの(　　)。
(4) $ x^2 + y^2 = 0 $は$ x = y = 0 $の(　　)。

a: 必要条件である
b: 十分条件である
c: 必要十分条件である
d: 必要条件でも十分条件でもない

以下解答です。

(1)と(2)の解答

$ x = 2 $はこれ以上単純にできません。
次に、$ x^2 = 4 $ より $ x = -2 または x = 2 $です。

以上を図にするとこうなります。

$ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4 $は成り立ちます。

しかし$ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 $は成り立ちません（反例：$ x = -2 $）。

以上より

「$ x = 2 $ は $ x^2 = 4 $の十分条件である。」
「$ x^2 = 4 $ は$ x = 2 $の必要条件である。」

と言えます。

【答】 (1) b (2) a

(3)の解答

ひし形と長方形の定義を覚えていますか？

ひし形は「4つの辺の長さが等しい四角形」
長方形は「4つの角がすべて等しい四角形」

です。

図にするとこうなります。

ひし形だからといって長方形とは限らず、長方形だからといってひし形とも限りません。

たまたま両方の条件を満たす（正方形になる）ことはありますが、一方がもう一方の条件を含む関係にはありません。

したがって「ひし形であることは、長方形であることの必要条件でも十分条件でもない」と言えます。

【答】(3) d

(4)の解答

$ x^2 + y^2 = 0 $ が成り立つとき、$ x^2 = 0 $ かつ　$ y^2 = 0 $ ですから、$ x = 0 $ かつ $ y = 0 $ です。

以上を図にするとこうなります。

2つの円が一致しています。

$ x^2 + y^2 = 0 $ ならば $ x = y = 0 $
$ x = y = 0 $ ならば $ x^2 + y^2 = 0 $

です。

こういった関係を「必要十分条件である」といいます。

【答】 (4) c