こんにちは、トイトブルクです！
大問の中の問題は、難易度順に並んでいるとは限らない
数学では小問を集めて大問を構成することがあります。
言葉で説明しても何のことかわからないと思いますので、例題を挙げましょう。
- 次の等式を証明せよ。
\begin{split}
a^3+b^3+c^3 -3abc &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{split} - $$8x^3 + y^3 -1 $$を因数分解せよ。
さてみなさんは、1の問題が解けるでしょうか？
一応証明しておきます。
$$ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b)^3 – 3ab(a+b) + c^3 -3abc $$
ここで$$X = a + b$$と置くと
\begin{split}
(与式)
&= X^3 – 3abX + c^3 -3abc \\
&= c^3 + X^3 -3ab(c+X) \\
&= (c+X)(c^2 – cX + X^2) – 3ab(c+X) \\
&= (c+X)(c^2 – cX + X^2 – 3ab) \\
&= (a+b+c){(a+b)^2 – (a+b)c + c^2 – 3ab} \\
&= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ca – bc + c^2 -3ab) \\
&= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) \\
\end{split}
前半が解けなくても、後半が解けることも･･････
ここでのポイントは、前半が解けないときにどうするかです。
1が解けなければ2も解けないと思いがちです。
しかし考えてみてください。1と2は同じ大問の中にあるのですから、関係があるはずです。
この問題の場合、1の公式を使えば2は解けます。
解き方を示しておきましょう。
\begin{split}
8x^3 + y^3 – 1
&= (2x)^3 + y^3 + (-1)^3 \\
&= {2x + y + (-1)}{(2x)^2 + y^2 + (-1)^2 -(2x) \cdot y – y \cdot (-1) – (-1)\cdot (2x) } \\
&= (2x + y – 1)(4x^2 + y^2 + 1 -2xy + y -2x) \\
&= (2x + y – 1)(4x^2 + y^2 -2xy -2x + y + 1)
\end{split}
となります。
前半ができなくてもあきらめないことが大事
いかがでしょうか？
- 問題は難易度順に並んでいない
- 前の問題は次の問題のヒント
- 後半の問題だけでも部分点を稼げる
前半ができなくても後半ができれば、かなり点数を稼げます。
あきらめずに、なんとか問題を解く方法がないかを考えたいものです。
最後までお読みくださり、ありがとうございました！この記事が少しでもみなさまのお役に立てばうれしく思います。
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